Soal UTBK-SNBT Paket 23

Soal Nomor 111

Diketahui fungsi:

\[ f(x) = \frac{2x+1}{x-1}, \quad g(x) = \sqrt{x-4} \]

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan kuantitas P dan Q berikut yang benar?

P Q
\((g \circ f)^{-1} (3)\) 5
  • Kuantitas P lebih besar daripada Q.
  • Kuantitas P lebih kecil daripada Q.
  • Kuantitas P sama dengan Q.
  • Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas P dan Q.
Pembahasan

Fungsi komposisi \( (g \circ f)(x) \):

\[ (g \circ f)(x) = \sqrt{\left( \frac{2x+1}{x-1} - 4 \right)} \]

Sederhanakan:

\[ (g \circ f)(x) = \sqrt{\left( \frac{2x+1}{x-1} - \frac{4(x-1)}{x-1} \right)} \]

\[ = \sqrt{\left( \frac{2x+1 - 4x + 4}{x-1} \right)} \]

\[ = \sqrt{\left( \frac{5 - 2x}{x-1} \right)} \]

Mencari invers:

\[ y = \sqrt{\left( \frac{5 - 2x}{x-1} \right)} \]

Kuadratkan kedua ruas:

\[ y^2 = \frac{5 - 2x}{x-1} \]

Kalikan silang:

\[ y^2 (x-1) = 5 - 2x \]

\[ xy^2 - y^2 = 5 - 2x \]

\[ xy^2 + 2x = 5 + y^2 \]

\[ x(y^2 + 2) = 5 + y^2 \]

\[ x = \frac{5 + y^2}{y^2 + 2} \]

Substitusi \( y = 3 \):

\[ (g \circ f)^{-1} (3) = \frac{5 + 3^2}{3^2 + 2} = \frac{14}{11} \]

Karena \( \frac{14}{11} < 5 \), maka \( P < Q \).

Jawaban: B

Soal Nomor 112

Jarak tegak lurus dari titik \((x_0,y_0)\) ke garis \(y=mx+c\) adalah:

\[ d = \frac{|y_0 - mx_0 - c|}{\sqrt{1 + m^2}} \]

Rumus Jarak Titik ke Garis

Jarak ini juga disebut jarak terdekat suatu titik ke suatu garis.

Garis \(y=0.5x+1\) akan diputar 180° searah jarum jam terhadap titik \((2, -1)\).

Persamaan garis setelah rotasi menjadi:

  • \(y=0.5x-1\)
  • \(y=-0.5x-1\)
  • \(y=0.5x-2\)
  • \(y=0.5x-5\)
  • \(y=0.5x-5.5\)
Pembahasan

Diketahui garis \(y=0.5x+1\) maka \(m=0.5\).

Ambil titik \(A(0,1)\).

Untuk rotasi 180° terhadap titik \((A,B)\) digunakan rumus:

\[ (x',y') = (-x + 2a, -y + 2b) \]

Rotasi terhadap titik \((2, -1)\):

\[ (x',y') = (-x + 4, -y - 2) \]

Substitusi ke persamaan \(y=0.5x+1\):

\[ -y - 2 = 0.5(-x + 4) + 1 \]

\[ -y - 2 = -0.5x + 2 + 1 \]

\[ -y = -0.5x + 5 \]

\[ y = 0.5x - 5 \]

Jawaban: \(y=0.5x-5\) (D)

Soal Nomor 113

Faktor persekutuan terbesar setiap dua bilangan di antara bilangan asli \(a, b,\) dan \(c\) adalah 1. Jika:

  • \(b(c-1) = 21\)
  • \(2c - a = 5\)
  • \(a < 10\)

Maka pernyataan yang benar adalah:

  • Jumlah ketiga bilangan adalah 14
  • Bilangan terbesar lebih kecil daripada tiga kali bilangan terkecil
  • Hasil kali ketiga bilangan adalah 84
  • Jumlah dua bilangan terkecil lebih besar daripada 8

Pilihan jawaban:

  • (1), (2), dan (3)
  • (1) dan (3)
  • (2) dan (4)
  • (4) saja
  • (1), (2), (3), dan (4)
Pembahasan

Diketahui:

\(b(c-1) = 21\)

\(b = \frac{21}{c-1}\)

Atau

\(c = \frac{21}{b} + 1\)

Uji nilai:

  • \(b=1\), maka \(c=22\)
  • \(b=3\), maka \(c=8\)
  • \(b=7\), maka \(c=4\)
  • \(b=21\), maka \(c=2\)

Substitusi ke \(2c - a = 5\):

\(a = 2c - 5\)

  • \(c=22\), maka \(a=39\) (Tidak memenuhi \(a < 10\))
  • \(c=8\), maka \(a=11\) (Tidak memenuhi \(a < 10\))
  • \(c=4\), maka \(a=3\) (Memenuhi)
  • \(c=2\), maka \(a=-1\) (Tidak memenuhi, karena \(a, b, c\) bilangan asli)

Maka, nilai yang memenuhi adalah \(a=3\), \(b=7\), \(c=4\).

Pernyataan 1:

\(a + b + c = 3 + 7 + 4 = 14\) (Benar)

Pernyataan 2:

Bilangan terbesar: 7

Tiga kali bilangan terkecil: \(3 \times 3 = 9\)

\(7 < 9\) (Benar)

Pernyataan 3:

\(abc = 3 \times 7 \times 4 = 84\) (Benar)

Pernyataan 4:

Jumlah dua bilangan terkecil: \(3 + 4 = 7\)

\(7 > 8\) (Salah)

Pernyataan benar: (1), (2), dan (3).

Jawaban: (1), (2), dan (3) (A)

Soal Nomor 114

Diketahui \( n \) adalah bilangan asli yang memenuhi:

\((n+1)! + (n+2)! = a n!\)

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas \( P \) dan \( Q \) berikut yang benar?

P Q
\( n^2 + 4n \) \( a - 3 \)

Pilihan jawaban:

  • \( P > Q \)
  • \( P < Q \)
  • \( P = Q \)
  • Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas \( P \) dan \( Q \)
Pembahasan

Diketahui:

\((n+1)! + (n+2)! = a n!\)

\((n+1)! + (n+2)(n+1)! = a n!\)

\((n+1)!(1 + (n+2)) = a n!\)

\((n+1)! (n+3) = a n!\)

Karena \((n+1)! = (n+1)n!\), maka:

\((n+1)(n+3)n! = a n!\)

\((n+1)(n+3) = a\)

\(n^2 + 3n + n + 3 = a\)

\(n^2 + 4n = a - 3\)

Karena \( P = n^2 + 4n \) dan \( Q = a - 3 \), maka hubungan kuantitasnya adalah:

\( P = Q \)

Jawaban: \( P = Q \) (C)

Soal Nomor 115

Diketahui \(x_1, x_2\) adalah bilangan bulat dan akar-akar persamaan:

\(x^2 - (2p+4)x + (3p+4) = 0\)

dimana \(p\) adalah konstanta. Jika \(x_1, p, x_2\) adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka suku ke-12 dari barisan geometri tersebut adalah:

  • A. \(-1\)
  • B. \(1\)
  • C. \(6+2\sqrt{5}\)
  • D. \(6-2\sqrt{5}\)
  • E. \(5\)
Pembahasan

Barisan geometri memenuhi:

\(r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2}\)

\(\frac{p}{x_1} = \frac{x_2}{p}\)

\(p^2 = x_1 x_2\)

Ingat bahwa \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\):

\(p^2 = 3p + 4\)

\((p - 4)(p + 4) = 0\)

Maka, \(p = 4\) atau \(p = -1\).

Untuk \(p = 4\):

\(x^2 - (2(4) + 4)x + (3(4) + 4) = 0\)

\(x^2 - 12x + 16 = 0\)

Solusi:

\(x_1 = 6+2\sqrt{5}\), \(x_2 = 6-2\sqrt{5}\)

Tidak memenuhi karena \(x_1, x_2\) bukan bilangan bulat.

Untuk \(p = -1\):

\(x^2 - (2(-1) + 4)x + (3(-1) + 4) = 0\)

\(x^2 - 2x + 1 = 0\)

\((x - 1)(x - 1) = 0\)

\(x_1 = 1\) atau \(x_2 = 1\)

Maka, barisan geometrinya adalah \(1, -1, 1, ...\)

Rasio \(r = -1\)

\(u_{12} = ar^{n-1} = 1(-1)^{11} = -1\)

Jawaban: A

تعليقات

إرسال تعليق

Bijak dalam berkomentar!

Popular Posts

Soal dan Pembahasan - Penalaran Kuantitatif UTBK SNBT 2024

صورة
Persiapkan diri menghadapi UTBK SNBT 2025 dengan latihan soal berbasis UTBK 2024 ! Artikel ini menyajikan kumpulan soal Penalaran Kuantitatif yang sering muncul, lengkap dengan pembahasan detail dan strategi penyelesaiannya. Meskipun soal berasal dari UTBK tahun sebelumnya, pola dan konsep yang diuji tetap relevan untuk tahun ini. Dengan memahami cara kerja soal, Anda dapat meningkatkan kemampuan berpikir logis, analitis, dan kecepatan dalam menjawab. Latihan soal ini cocok untuk calon peserta UTBK 2025 yang ingin mengukur kemampuan dan memperdalam pemahaman sebelum ujian sebenarnya. Dengan mengerjakan soal-soal yang sesuai dengan standar SNBT 2025 , Anda bisa lebih siap menghadapi berbagai tipe soal yang mungkin muncul. Jangan lewatkan kesempatan untuk meningkatkan skor UTBK Anda dengan latihan yang terarah dan efektif! Soal Nomor 1 Diberikan \( p = 216^{-\frac{1}{3}} + 243^{-\frac{2}{3}} + 256^{-\frac{1}{4}} \), mana yang merupakan bilangan bulat? ...
Read more »

Soal dan Pembahasan Fisika SM ITB

صورة
Seleksi Mandiri ITB (SM ITB) merupakan salah satu jalur masuk Institut Teknologi Bandung yang diselenggarakan secara terpisah dari seleksi nasional. Pada seleksi ini, ITB menyusun soal-soal sendiri untuk mengukur kemampuan akademik calon mahasiswa secara mendalam dan terarah, sesuai bidang studi yang diminati. Dalam mata pelajaran Fisika, topik yang sering diuji mencakup konsep-konsep dasar namun menantang, terutama pada materi mekanika dan gelombang . Materi mekanika yang sering diujikan mencakup konsep dasar seperti gerak lurus, gaya, dan hukum Newton, hingga topik lanjutan seperti sistem dua benda, gerak melingkar, dan osilasi harmonik. Sementara itu, pada materi gelombang , fokus utama biasanya pada gelombang mekanik, termasuk konsep panjang gelombang, frekuensi, cepat rambat, dan prinsip interferensi. Soal-soal dalam kedua topik ini umumnya menguji pemahaman konsep secara menyeluruh, bukan sekadar penerapan rumus, melainkan juga kemampuan menganalisis situasi fisis secara l...
Read more »

Kumpulan Soal Fisika UM UGM

Soal Nomor 1 Sebuah benda bergerak di suatu permukaan yang kasar dengan koefisien gesek antara permukaan dengan benda konstan sebesar \( \mu \). Bila awalnya energi kinetik benda adalah \( E \) dan jarak yang dapat ditempuh benda sebelum berhenti adalah \( x \), maka besar massa benda adalah... A. \( \displaystyle \frac{3E}{g\mu x} \) B. \( \displaystyle \frac{E}{2g\mu x} \) C. \( \displaystyle \frac{2E}{g\mu x} \) D. \( \displaystyle \frac{E}{g\mu x} \) E. \( \displaystyle \frac{E}{4g\mu x} \) Pembahasan Gaya gesek yang bekerja pada benda adalah: \( F_{\text{gesek}} = \mu \cdot m \cdot g \) Usaha oleh gaya gesek (arah berlawanan dengan gerak) sebesar: \( W = F_{\text{gesek}} \cdot x = \mu m g x \) Karena benda berhenti, seluruh energi kinetik diubah menjadi usaha oleh gaya gesek: \( E = \mu m g x \Rightarrow m = \frac{E...
Read more »

Soal UTBK-SNBT Paket 30

صورة
Soal Nomor 146 Jika \( x_1 \) dan \( x_2 \) memenuhi \( 6^{x^2} \cdot 36^{-2x} = \frac{1}{216} \) dengan \( x_1 > x_2 \), maka \( x_1 \times x_2 \) adalah A. \( 2 \) B. \( 3 \) C. \( 4 \) D. \( 5 \) E. \( 6 \) Pembahasan \( 6^{x^2} \cdot 36^{-2x} = \frac{1}{216} \) Karena \( 36 = 6^2 \), maka \( 6^{x^2} \cdot (6^2)^{-2x} = 6^{-3} \) \( 6^{x^2} \cdot 6^{-4x} = 6^{-3} \) \( 6^{x^2 - 4x} = 6^{-3} \) Karena basisnya sama, maka eksponen juga sama: \( x^2 - 4x = -3 \) \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) Faktorkan: \( (x-3)(x-1) = 0 \) Solusi: \( x = 3 \) atau \( x = 1 \) \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 1 \) \( x_1 \times x_2 = 3 \times 1 = 3 \) Jawaban: B Soal Nomor 147 Diketahui \( a = \sqrt{2029 \times 2021 + 16} \)...
Read more »