Soal dan Pembahasan - Penalaran Kuantitatif UTBK SNBT 2024

Persiapkan diri menghadapi UTBK SNBT 2025 dengan latihan soal berbasis UTBK 2024! Artikel ini menyajikan kumpulan soal Penalaran Kuantitatif yang sering muncul, lengkap dengan pembahasan detail dan strategi penyelesaiannya. Meskipun soal berasal dari UTBK tahun sebelumnya, pola dan konsep yang diuji tetap relevan untuk tahun ini. Dengan memahami cara kerja soal, Anda dapat meningkatkan kemampuan berpikir logis, analitis, dan kecepatan dalam menjawab.

Latihan soal ini cocok untuk calon peserta UTBK 2025 yang ingin mengukur kemampuan dan memperdalam pemahaman sebelum ujian sebenarnya. Dengan mengerjakan soal-soal yang sesuai dengan standar SNBT 2025, Anda bisa lebih siap menghadapi berbagai tipe soal yang mungkin muncul. Jangan lewatkan kesempatan untuk meningkatkan skor UTBK Anda dengan latihan yang terarah dan efektif!

Soal Nomor 1

Diberikan \( p = 216^{-\frac{1}{3}} + 243^{-\frac{2}{3}} + 256^{-\frac{1}{4}} \), mana yang merupakan bilangan bulat?

• A. \( \frac{p}{19} \)
• B. \( \frac{p}{36} \)
• C. \( p \)
• D. \( \frac{19}{p} \)
• E. \( \frac{36}{p} \)

Pembahasan

Hitung nilai \( p \):

\[ p = \frac{1}{216^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{243^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{256^{\frac{1}{4}}} \]

\[ p = \frac{1}{(6^3)^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{(3^5)^{\frac{2}{5}}} + \frac{1}{(2^8)^{\frac{1}{4}}} \]

\[ p = \frac{1}{6} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^2} \]

\[ p = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \]

\[ p = \frac{6}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9}{36} = \frac{19}{36} \]

Periksa opsi yang merupakan bilangan bulat:

\[ \frac{19}{p} = \frac{19}{\frac{19}{36}} = 36 \]

Maka, jawaban yang benar adalah:

Jawaban: D

Soal Nomor 2

Urutan empat bilangan \( \frac{1}{8} \), \( 0,1255 \), \( \frac{3}{25} \), dan \( 12,25\% \) dari yang terkecil ke yang terbesar adalah?

• A. \( \frac{1}{8}, 0,1255, \frac{3}{25}, 12,25\% \)
• B. \( 0,1255, \frac{3}{25}, \frac{1}{8}, 12,25\% \)
• C. \( 12,25\%, \frac{3}{25}, \frac{1}{8}, 0,1255 \)
• D. \( \frac{3}{25}, 12,25\%, \frac{1}{8}, 0,1255 \)
• E. \( \frac{3}{25}, \frac{1}{8}, 12,25\%, 0,1255 \)

Pembahasan

Ubah semua bilangan ke bentuk desimal:

\[ \frac{1}{8} = 0,125 \]

\[ \frac{3}{25} = 0,12 \]

\[ 12,25\% = 0,1225 \]

Maka urutan dari yang terkecil ke terbesar adalah:

\[ \frac{3}{25}, 12,25\%, \frac{1}{8}, 0,1255 \]

Jawaban: D

Soal Nomor 3

Urutan tiga bilangan \( 0,44 \), \( 1 - \frac{5}{9} \), dan \( 44,4\% \) dari yang terkecil ke yang terbesar adalah?

• A. \( 44,4\%, 1 - \frac{5}{9}, 0,44 \)
• B. \( 0,44, 44,4\%, 1 - \frac{5}{9} \)
• C. \( 0,44, 1 - \frac{5}{9}, 44,4\% \)
• D. \( 1 - \frac{5}{9}, 0,44, 44,4\% \)
• E. \( 1 - \frac{5}{9}, 44,4\%, 0,44 \)

Pembahasan

Ubah ke desimal:

\[ 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \approx 0,4444 \]

\[ 44,4\% = 0,444 \]

Maka urutan dari yang terkecil adalah:

\( 0,44, 44,4\%, 1 - \frac{5}{9} \)

Jawaban: B

Soal Nomor 4

Tabel berikut menyatakan operasi \( \circ \) dan \( \diamond \)

\( \circ \)	0	1	2	3
0	1	2	0	1
1	2	0	1	2
2	0	1	2	0
3	1	2	0	1

\( \diamond \)	0	1	2	3
0	3	0	1	2
1	0	1	2	3
2	1	2	3	0
3	2	3	0	1

Operasi \( \Box \) didefinisikan sebagai:

\( a \Box b = 2 \circ (a \diamond b) \) untuk semua \( a, b \in \{0, 1, 2, 3\} \).

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas \( P \) dan \( Q \) berikut yang benar?

\( P \)	\( Q \)
\( 0 \Box 2 \) atau \( 3 \Box 3 \)	2

• A. Kuantitas \( P \) lebih besar daripada \( Q \)
• B. Kuantitas \( P \) lebih kecil daripada \( Q \)
• C. Kuantitas \( P \) sama dengan \( Q \)
• D. Tidak dapat ditentukan hubungan antara \( P \) dan \( Q \)

Pembahasan

Hitung nilai \( P \):

\( 0 \Box 2 = 2 \circ (0 \diamond 2) \)

\( 0 \diamond 2 = 1 \)

\( 2 \circ 1 = 1 \)

\( 3 \Box 3 = 2 \circ (3 \diamond 3) \)

\( 3 \diamond 3 = 1 \)

\( 2 \circ 1 = 1 \)

Maka, \( P = 1 \) dan \( Q = 2 \), sehingga \( P < Q \).

Jawaban: B

Soal Nomor 5

Jika \( 13 - 3 \times 8 \div p^{\frac{1}{2}} = 1 \), maka \( p \) = ?

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 5
• E. 6

Pembahasan

Persamaan diberikan:

\[ 13 - 3 \times 8 \div p^{\frac{1}{2}} = 1 \]

Kurangi 13 dari kedua sisi:

\[ -3 \times 8 \div p^{\frac{1}{2}} = 1 - 13 \] \[ -24 \div p^{\frac{1}{2}} = -12 \]

Bagi kedua sisi dengan -12:

\[ 2 \div p^{\frac{1}{2}} = 1 \]

Kali silang:

\[ p^{\frac{1}{2}} = 2 \]

Kuadratkan kedua sisi:

\[ p = 2^2 = 4 \]

Jawaban: C

Soal Nomor 6

Jika \( t \times 3 + 9 \div 9^{\frac{1}{2}} = 24 \), maka \( t \) = ?

• A. 7
• B. 8
• C. 9
• D. 14
• E. 21

Pembahasan

Persamaan diberikan:

\[ t \times 3 + 9 \div 9^{\frac{1}{2}} = 24 \]

Sederhanakan akar:

\[ 3t + 9 \div 3 = 24 \]

Sederhanakan pembagian:

\[ 3t + 3 = 24 \]

Kurangi 3 dari kedua sisi:

\[ 3t = 21 \]

Bagi kedua sisi dengan 3:

\[ t = 7 \]

Jawaban: A

Soal Nomor 7

Suatu prisma persegi memiliki tinggi 5 cm dan volume 80 cm². Berdasarkan informasi di atas, pernyataan berikut yang bernilai benar adalah:

1. Luas permukaan prisma sama dengan 112 cm²
2. Panjang diagonal ruang prisma lebih dari 7 cm
3. Suatu bola berdiameter 6 cm dapat memuat prisma tersebut

• A. 1 dan 2
• B. 1 dan 3
• C. 2 dan 3
• D. 1 saja
• E. 2 saja

Pembahasan

Rumus volume prisma:

\[ V = \text{luas alas} \times \text{tinggi} \]

\[ 80 = \text{luas alas} \times 5 \]

\[ \text{Luas alas} = \frac{80}{5} = 16 \text{ cm}^2 \]

Karena berbentuk persegi, maka \( p = 4 \) cm dan \( l = 4 \) cm.

Rumus luas permukaan prisma persegi:

\[ L_p = 2pl + 2pt + 2tl \]

\[ L_p = 2(4 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 4) \]

\[ L_p = 2(16 + 20 + 20) \]

\[ L_p = 2(56) = 112 \text{ cm}^2 \]

Diagonal ruang prisma:

\[ d = \sqrt{p^2 + l^2 + t^2} \]

\[ d = \sqrt{4^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{52} \approx 7.2 \]

Bola memiliki diameter 6 cm, yang lebih kecil daripada ukuran prisma, maka bola tidak dapat memuat prisma.

Pernyataan benar: 1 dan 2

Jawaban: A

Soal Nomor 8

Sebuah bola memiliki volume 36π cm³. Berdasarkan informasi di atas, pernyataan berikut yang bernilai salah adalah:

1. Diameter bola sama dengan 3 cm
2. Luas permukaan bola lebih dari 100 cm²
3. Suatu kubus dengan panjang rusuk 5 cm dapat memuat bola tersebut

• A. 1 dan 2
• B. 1 dan 3
• C. 2 dan 3
• D. 1 saja
• E. 2 saja

Pembahasan

Rumus volume bola:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

\[ 36\pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

\[ r^3 = 27 \]

\[ r = 3 \]

Maka diameter bola:

\[ 2r = 6 \text{ cm} \]

Luas permukaan bola:

\[ L = 4\pi r^2 = 113.04 \text{ cm}^2 \]

Kubus dengan rusuk 5 cm memiliki diagonal ruang:

\[ d = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ cm} \]

Karena lebih besar dari diameter bola, bola dapat dimuat.

Pernyataan salah: 1 saja

Jawaban: D

Soal Nomor 9

Perhatikan diagram alir berikut:

Keterangan:

• Bilangan asli m dan n memenuhi kedua pernyataan berikut:
• Input x = 3 menghasilkan z = 12
• Input x = 4 menghasilkan z = 18

Nilai m adalah?

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4
• E. 5

Pembahasan

Ambil x = 3

Karena 3 termasuk bilangan prima, maka:

\[ y = 4(3) - 2 \] \[ y = 10 \]

\[ l = \frac{10}{2} - 1 = 4 \]

\[ z = l + m^3 \] \[ 12 = 4 + m^3 \] \[ m^3 = 8 \] \[ m = 2 \]

Jawaban: B

Soal Nomor 10

Perhatikan diagram alir berikut:

Keterangan:
Bilangan asli m dan n memenuhi kedua pernyataan berikut:

• Input x = 3 menghasilkan z = 12
• Input x = 4 menghasilkan z = 18

Nilai \( n \) adalah?

• A. 5
• B. 4
• C. 3
• D. 2
• E. 1

Pembahasan

Ambil \( x = 4 \).

\( x \) tidak termasuk bilangan prima, maka:

\[ y = 4^2 - 4 = 12 \]

\( z = n \times \) (banyaknya faktor dari \( y \)).

Faktor dari 12 adalah {1, 2, 3, 4, 6, 12}, sehingga banyaknya faktor = 6.

\[ 18 = n \times 6 \]

\[ n = \frac{18}{6} = 3 \]

Jawaban: C

Soal Nomor 11

Perhatikan diagram alir berikut:

Keterangan:
Bilangan asli m dan n memenuhi kedua pernyataan berikut:

• Input x = 3 menghasilkan z = 12
• Input x = 4 menghasilkan z = 18

Jika diberikan input \( x = 6 \), dihasilkan \( z \) = ?

• A. 15
• B. 18
• C. 21
• D. 24
• E. 30

Pembahasan

Jika \( x = 6 \), maka \( x \) tidak termasuk bilangan prima.

\[ y = x^2 - x = 6^2 - 6 = 30 \]

Banyaknya faktor dari 30 adalah {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, terdapat 8 faktor.

\[ z = n \times \text{banyaknya faktor dari } y \]

\[ z = 3 \times 8 = 24 \]

Jawaban: D

Soal Nomor 12

Perhatikan diagram alir berikut:

Keterangan:
Notasi max (k + 5, y) menyatakan bilangan yang paling besar di antara k + 5 dan y.

Bilangan bulat \( b \) dan \( k \) memenuhi kedua pernyataan berikut:

• Input \( x = 3 \) menghasilkan \( z = 3 \)
• Input \( x = 2 \) menghasilkan \( z = 13 \)

Nilai \( b \) adalah?

• A. -3
• B. -2
• C. 1
• D. 2
• E. 3

Pembahasan

Input \( x = 3 \)

\[ y = 1 + 3x \]

\[ y = 1 + 3(3) = 10 \]

\( y \) tidak termasuk bilangan ganjil.

\[ z = b + \frac{y}{2} \]

\[ 3 = b + \frac{10}{2} \]

\[ b = -2 \]

Jawaban: B

Soal Nomor 13

Perhatikan diagram alir berikut:

Keterangan:
Notasi max (k + 5, y) menyatakan bilangan yang paling besar di antara k + 5 dan y.

Bilangan bulat \( b \) dan \( k \) memenuhi kedua pernyataan berikut:

• Input \( x = 3 \) menghasilkan \( z = 3 \)
• Input \( x = 2 \) menghasilkan \( z = 13 \)

Nilai \( k \) adalah?

• A. 3
• B. 5
• C. 7
• D. 8
• E. 11

Pembahasan

Input \( x = 2 \)

\[ y = 1 + 3(2) = 7 \]

\( y \) termasuk bilangan ganjil.

\[ w = \max(k + 5, y) \]

Untuk menghitung nilai \( k \), perlu mencari nilai \( w \) terlebih dahulu.

\[ z = y \times 3 - w \]

\[ 13 = 7 \times 3 - w \]

\[ w = 21 - 13 = 8 \]

Maka \( w = \max(k + 5, y) \) menjadi:

\[ 8 = \max(k + 5, 7) \]

Yang maksimum adalah 8. Maka:

\[ 8 = k + 5 \]

\[ k = 3 \]

Jawaban: A

Soal Nomor 14

Perhatikan diagram alir berikut:

Keterangan:
Notasi max (k + 5, y) menyatakan bilangan yang paling besar di antara k + 5 dan y.

Bilangan bulat \( b \) dan \( k \) memenuhi kedua pernyataan berikut:

• Input \( x = 3 \) menghasilkan \( z = 3 \)
• Input \( x = 2 \) menghasilkan \( z = 13 \)

Jika diberikan input \( x = 4 \), dihasilkan \( z \) = ?

• A. 45
• B. 8,5
• C. 13
• D. 26
• E. 31

Pembahasan

Input \( x = 4 \)

\[ y = 1 + 3(4) = 13 \]

\( y \) termasuk bilangan ganjil.

Sebelumnya sudah didapatkan \( k = 3 \), jadi:

\[ w = \max(8, 13) \]

\[ w = 13 \]

Sehingga:

\[ z = y \times 3 - 13 \]

\[ z = 13 \times 3 - 13 = 26 \]

Jawaban: D

Soal Nomor 15

Fungsi \( f \) dengan \( f(x) = a - 2x \) untuk suatu bilangan real \( a \) memiliki invers \( f^{-1} \) yang memenuhi:

\[ f^{-1} (a^2+2)=-2 \]

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas \( P \) dan \( Q \) berikut yang benar?

P	Q
\( a \)	\( -2 \)

• A. Kuantitas P lebih besar daripada Q
• B. Kuantitas P lebih kecil daripada Q
• C. Kuantitas P sama dengan Q
• D. Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas P dan Q

Pembahasan

Persamaan dasar invers:

\[ f^{-1} (x) = a, \text{ maka } f(a) = x \]

Diketahui:

\[ f(-2) = a^2 + 2 \]

\[ a - 2(-2) = a^2 + 2 \]

\[ a + 4 = a^2 + 2 \]

\[ a^2 - a - 2 = 0 \]

Faktorisasi:

\[ (a - 2)(a + 1) = 0 \]

Sehingga:

\[ a = 2 \text{ atau } a = -1 \]

Diketahui \( Q = -2 \), maka \( P = 2 \) atau \( P = -1 \).

Karena dalam kedua kemungkinan \( P > Q \), maka:

Jawaban: A

Soal Nomor 16

Jajargenjang PQRS memiliki luas 20 satuan. Titik T terletak pada QR sehingga ST tegak lurus terhadap QR.

Jika \((a,b)\) adalah koordinat S, maka nilai \(2a+b\) adalah:

• A. 7
• B. 8
• C. 9
• D. 10
• E. 11

Pembahasan

Menentukan tinggi jajargenjang:

\[ L = \text{alas} \times \text{tinggi} \] \[ 20 = 4 \times \text{tinggi} \] \[ \text{tinggi} = \frac{20}{4} = 5 \]

Koordinat x pada titik S sama dengan koordinat x pada titik T, yakni 3.

Koordinat y pada titik S didapat dari koordinat y titik T ditambah tinggi, yaitu:

\[ 0 + 5 = 5 \]

Maka, \( S(3,5) \).

\[ 2a + b = 2(3) + 5 = 11 \]

Jawaban: E

Soal Nomor 17

Garis \( l \) melalui titik B pada persegi ABCD dan tegak lurus terhadap diagonal BD.

Jika \((p,q)\) adalah koordinat B, maka nilai \(p+q\) adalah:

• A. 10
• B. 15
• C. 20
• D. 25
• E. 30

Pembahasan

Karena garis AB adalah garis horizontal, maka koordinat \( y \) pada B sama dengan koordinat \( y \) pada A, yaitu 5.

Karena garis BC adalah garis vertikal, maka koordinat \( x \) pada B sama dengan koordinat \( x \) pada C, yaitu 5.

Maka, \( B(5,5) \).

\[ p + q = 5 + 5 = 10 \]

Jawaban: A

Soal Nomor 18

Persegi ABCD memuat E pada AD sehingga gradien BE sama dengan 2.

Jika \((p, q)\) adalah koordinat E, maka nilai \(5p - q\) adalah:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4
• E. 5

Pembahasan

Diketahui gradien dari BE adalah 2, maka:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ 2 = \frac{q - 0}{p - 0} \]

\[ 2 = \frac{q}{p} \]

Memasukkan kemungkinan \( p \) dan \( q \), misal \( p = 1 \) dan \( q = 2 \). \( p = 1 \) karena koordinat x pada titik E berada di tengah-tengah koordinat x pada titik B dan C.

Sehingga:

\[ 2 = \frac{2}{1} \]

\[ 5p - q = 5(1) - 2 = 3 \]

Jawaban: C

Soal Nomor 19

Persegi ABCD memuat E pada AD sehingga gradien BE sama dengan 2.

Panjang BE adalah:

• A. \( \sqrt{2} \)
• B. \( \sqrt{3} \)
• C. 2
• D. \( \sqrt{5} \)
• E. \( \sqrt{6} \)

Pembahasan

Koordinat E adalah (1, 2), maka jarak AE adalah 1 satuan dan jarak AB = 2 satuan.

Menggunakan teorema Pythagoras:

\[ BE = \sqrt{AE^2 + AB^2} \] \[ BE = \sqrt{1^2 + 2^2} \] \[ BE = \sqrt{5} \]

Jawaban: D

Soal Nomor 20

Persegi ABCD memuat E pada AD sehingga gradien BE sama dengan 2.

Jarak C ke BE adalah:

• A. \( \frac{4}{5} \sqrt{5} \)
• B. \( \frac{4}{3} \sqrt{5} \)
• C. \( \frac{8}{3} \sqrt{5} \)
• D. \( \frac{8}{3} \sqrt{5} \)
• E. \( 3\sqrt{5} \)

Pembahasan

Menggunakan perbandingan panjang segmen:

\[ \frac{BC}{BE} = \frac{CF}{AB} \] \[ \frac{2-0}{\sqrt{5}} = \frac{CF}{2} \] \[ CF = \frac{4}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \] \[ CF = \frac{4\sqrt{5}}{5} \]

Jawaban: A

Soal Nomor 21

Banyaknya susunan lima huruf berbeda dari huruf U, T, B, K, dan N dari kiri ke kanan dengan huruf B dan K harus berdekatan adalah:

• A. 10
• B. 12
• C. 24
• D. 42
• E. 48

Pembahasan

Terdapat 5 huruf: U, T, B, K, dan N, dengan syarat B dan K harus berdekatan.

Kita anggap BK sebagai satu kesatuan, sehingga tersisa 4 elemen yang dapat disusun.

\[ (5-1)! \, \times \, 2! = 4! \, \times \, 2! \]

\[ 24 \, \times \, 2 = 48 \]

Jawaban: E

Soal Nomor 22

Banyaknya susunan lima huruf berbeda dari huruf A, B, C, D, dan E dari kiri ke kanan dengan huruf ketiga B, C, atau D serta huruf pertama bukan A adalah:

• A. 18
• B. 24
• C. 36
• D. 48
• E. 54

Pembahasan

Kita akan menentukan banyaknya susunan lima huruf dengan syarat:

3	3	3	2	1
C×	A×	B×	D×	E×
D	D	C	E
E	E	D

Sehingga total banyaknya susunan adalah:

\[ 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 54 \]

Jawaban: E

Soal Nomor 23

Banyaknya susunan lima angka berbeda dari angka 3, 4, 6, 8, 9 dari kiri ke kanan dengan urutan pertama angka 3, serta urutan ketiganya angka 4, 6, atau 8 adalah:

• A. 9
• B. 18
• C. 25
• D. 27
• E. 36

Pembahasan

Kita akan menentukan banyaknya susunan lima angka dengan syarat:

1	3	3	2	1
3×	6×	4×	8×	9×
	8	6	9
	9	8

Sehingga total banyaknya susunan adalah:

\[ 1 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18 \]

Jawaban: B

Soal Nomor 24

Daerah S dari bidang kartesius adalah himpunan semua solusi dari sistem pertidaksamaan linear:

• 3x + y ≥ 3
• -2x + y ≤ -2
• x ≤ 5

Pernyataan mana saja yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

• (1) Batas daerah S merupakan suatu segitiga
• (2) Seluruh daerah S terletak di kuadran pertama dan keempat
• (3) Garis y = -x memotong daerah S
• (4) Titik (2, 10) terletak di daerah S

Pilihan jawaban:

• A. (1), (2), dan (3)
• B. (1) dan (3)
• C. (2) dan (4)
• D. (4)
• E. (1), (2), (3), dan (4)

Pembahasan

Berikut gambar grafiknya:

Menentukan titik potong garis:

• 3x + y = 3
• -2x + y = -2

Mengurangi kedua persamaan:

5x = 5 → x = 1

3(1) + y = 3 → y = 0

Maka titik potongnya adalah (1,0).

Titik potong lainnya:

• 3x + y = 3 dan x = 5 → y = -12 → (5, -12)
• -2x + y = -2 dan x = 5 → y = 8 → (5, 8)

Analisis pernyataan:

• Pernyataan (1) benar: daerah S berbentuk segitiga.
• Pernyataan (2) benar: daerah S terletak di kuadran 1 dan 4.
• Pernyataan (3) benar: garis y = -x memotong daerah S.
• Pernyataan (4) salah: titik (2,10) berada di luar daerah S.

Jawaban: A

Soal Nomor 25

Garis l melalui titik B pada persegi ABCD dan tegak lurus terhadap diagonal BD.

Persamaan garis l adalah:

• A. y = -x + 5
• B. y = x + 10
• C. y = -x - 10
• D. y = x - 10
• E. y = -x + 10

Pembahasan

Garis AB adalah garis lurus horizontal, maka AB memiliki koordinat y yang sama, yakni 5. Kemudian BC adalah garis vertikal lurus, maka memiliki koordinat x yang sama, yakni 5. Maka koordinat B(5, 5).

Jika garis BD tegak lurus dengan garis l, maka garis l sejajar dengan garis AD. Gradien garis AD:

\[ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 5}{5 - 1} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Jika sejajar, maka memiliki gradien yang sama, maka \( m_2 = -1 \).

Menyusun persamaan garis:

\[ y - y_1 = m_2 (x - x_1) \]

\[ y - 5 = -1 (x - 5) \]

\[ y - 5 = -x + 5 \]

\[ y = -x + 10 \]

Jawaban: E

Soal Nomor 26

Garis l melalui titik B pada persegi ABCD dan tegak lurus terhadap diagonal BD.

Jarak A ke garis l adalah:

• A. \( 2 \)
• B. \( 2\sqrt{2} \)
• C. \( 4 \)
• D. \( 4\sqrt{2} \)
• E. \( 5 \)

Pembahasan

Menggunakan rumus jarak titik ke garis:

\[ d_A = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Dengan \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -10 \), dan titik A(1, 5):

\[ d_A = \frac{|(1)(1) + (1)(5) - 10|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \]

Rasionalisasi:

\[ \frac{4}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

Jawaban: B

Soal Nomor 27

PQRS memiliki luas 20 satuan. Titik T terletak pada QR sehingga ST tegak lurus terhadap QR.

Gradien garis SR adalah:

• A. \(-\frac{1}{5}\)
• B. \(\frac{1}{5}\)
• C. 5
• D. -5
• E. Tidak terdefinisi

Pembahasan

Menentukan tinggi jajar genjang:

\[ L = \text{alas} \times \text{tinggi} \]

\[ 20 = 4 \times \text{tinggi} \]

\[ \text{tinggi} = \frac{20}{4} = 5 \]

Jadi, untuk koordinat \( x \) pada titik \( S \) sama dengan koordinat \( x \) pada titik \( T \), yakni 3.

Untuk koordinat \( y \), tambahkan 5 pada koordinat \( y \) pada titik \( T \):

\[ 0 + 5 = 5 \]

Maka, \( S(3, 5) \).

Gradien SR:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

\[ m = \frac{0 - 5}{4 - 3} \]

\[ m = \frac{-5}{1} = -5 \]

Jawaban: D

Soal Nomor 28

Koordinat titik-titik sudut segitiga PQR adalah P(2, 4), Q(2, 6), dan R(4, y). Apakah garis I yang melalui titik (0, 0) dengan gradien m memotong segitiga PQR?

• (1) 8 < y < 16 dan m > 0
• (2) 4 < y < 12 dan m < 2

Pilihan jawaban:

• A. Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
• B. Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
• C. DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
• D. Baik Pernyataan (1) SAJA, maupun (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.
• E. Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah garis I yang melalui titik (0,0) dengan gradien m memotong segitiga PQR dengan koordinat P(2,4), Q(2,6), dan R(4,y), kita perlu mengevaluasi dua pernyataan yang diberikan.

(1) 8 < y < 16 dan m > 0

Berdasarkan nilai y, R(4, y) berada di atas Q(2,6) dan P(2,4) pada sumbu y. Dengan m > 0, garis I memiliki gradien positif. Agar garis I memotong segitiga PQR, ia harus melewati salah satu sisi segitiga. Namun, kita tidak dapat memastikan apakah garis I akan memotong segitiga tanpa mengetahui lebih banyak tentang nilai m dan lokasi spesifik R. Sehingga, pernyataan (1) saja tidak cukup.

(2) 4 < y < 12 dan m < 2

Berdasarkan nilai y, R(4,y) berada dalam rentang yang lebih luas. Dengan m < 2, garis I memiliki gradien yang lebih landai. Namun, meskipun batasan y lebih luas dan m lebih rendah, kita masih tidak bisa memastikan apakah garis I akan memotong segitiga PQR tanpa informasi lebih lanjut. Maka, pernyataan (2) saja juga tidak cukup.

Menggabungkan pernyataan (1) dan (2)

Dengan menggabungkan kedua batasan, kita dapat menentukan bahwa titik R berada pada posisi yang memungkinkan garis I untuk memotong salah satu sisi segitiga. Dengan informasi ini, kita dapat memastikan bahwa garis I akan memotong segitiga PQR.

Jawaban: C (DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.)

Soal Nomor 29

Sistem persamaan linear dalam variabel x, y, dan z:

\[ x + 2y - 3z = k \]

\[ 2y - 3z = -3 \]

\[ 3x - z = 2 \]

Memiliki solusi \( x = a, y = b, z = c \). Pernyataan mana saja yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas:

• \( c = 10 \) jika \( k = 1 \)
• \( c = 3a - 2 \)
• \( a = k + 3 \)
• \( a + 2b = k + 3c \)

Pilihan Jawaban:

• A. (1), (2), dan (3)
• B. (1) dan (3)
• C. (2) dan (4)
• D. (4)
• E. (1), (2), (3), dan (4)

Pembahasan

Diketahui \( x = a, y = b, z = c \), maka kita periksa kebenaran masing-masing pernyataan.

Pernyataan (1)

Dari persamaan pertama:

\[ x + 2y - 3z = k \]

Substitusi \( k = 1 \):

\[ x + 2y - 3z = 1 \]

Dari persamaan kedua:

\[ 2y - 3z = -3 \]

Eliminasi dengan mengurangkan persamaan:

\[ x + 2y - 3z - (2y - 3z) = 1 - (-3) \]

\[ x = 4 \]

Jadi, \( a = 4 \).

Substitusi ke persamaan ketiga:

\[ 3(4) - z = 2 \]

\[ 12 - z = 2 \]

\[ z = 10 \]

Jadi, \( c = 10 \), maka pernyataan (1) benar.

Pernyataan (2)

Dari persamaan ketiga:

\[ 3x - z = 2 \]

Substitusi \( x = a \) dan \( z = c \):

\[ 3a - c = 2 \]

Sehingga:

\[ c = 3a - 2 \]

Pernyataan (2) benar.

Pernyataan (3)

Eliminasi persamaan pertama dan kedua:

\[ x + 2y - 3z = k \]

\[ 2y - 3z = -3 \]

Kurangi kedua persamaan:

\[ x = k + 3 \]

Sehingga:

\[ a = k + 3 \]

Pernyataan (3) benar.

Pernyataan (4)

Dari persamaan pertama:

\[ x + 2y - 3z = k \]

Atau:

\[ a + 2b - 3c = k \]

\[ a + 2b = k + 3c \]

Pernyataan (4) benar.

Jadi, semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.

Jawaban: E

Soal Nomor 30

Sekumpulan data disajikan sebagai berikut: 3, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

Berapakah banyaknya dari empat pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

• Median kumpulan data sama dengan modusnya.
• Rata-rata kumpulan data kurang dari 6.
• Modus kumpulan data kurang dari jangkauannya.
• Median kumpulan data sama dengan rata-ratanya.

Pilihan Jawaban:

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3
• E. 4

Pembahasan

Pernyataan (1)

Median dihitung sebagai rata-rata dari dua nilai tengah:

\[ Me = \frac{6 + 7}{2} = 6.5 \]

Modus adalah nilai yang paling sering muncul, yaitu 6.

Karena median \( \neq \) modus, maka pernyataan (1) salah.

Pernyataan (2)

Rata-rata kumpulan data:

\[ \frac{3 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9}{12} \]

\[ = \frac{78}{12} = 6.5 \]

Karena 6.5 tidak kurang dari 6, maka pernyataan (2) salah.

Pernyataan (3)

Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan minimum:

\[ \text{Jangkauan} = 9 - 3 = 6 \]

Modus = 6

Karena modus tidak kurang dari jangkauan, maka pernyataan (3) salah.

Pernyataan (4)

Median = 6.5

Rata-rata = 6.5

Karena median = rata-rata, maka pernyataan (4) benar.

Jadi, hanya satu pernyataan yang benar.

Jawaban: B

Soal Nomor 31

Sekumpulan data disajikan sebagai berikut: 20, 30, 30, 35, 40, 45, 50, 55.

Berapakah banyaknya dari empat pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

• Rata-rata kumpulan data kurang dari 40.
• Median kumpulan data lebih dari modusnya.
• Modus kumpulan data tersebut lebih dari jangkauannya.
• Jangkauan kumpulan data lebih dari mediannya.

Pilihan Jawaban:

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3
• E. 4

Pembahasan

Pernyataan (1)

Rata-rata dihitung sebagai:

\[ \frac{20 + 30 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 + 55}{8} \]

\[ = \frac{305}{8} = 38.125 \]

Karena 38.125 kurang dari 40, maka pernyataan (1) benar.

Pernyataan (2)

Median dihitung sebagai rata-rata dari dua nilai tengah:

\[ Me = \frac{35 + 40}{2} = 37.5 \]

Modus adalah nilai yang paling sering muncul, yaitu 30.

Karena median lebih dari modus, maka pernyataan (2) benar.

Pernyataan (3)

Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan minimum:

\[ \text{Jangkauan} = 55 - 20 = 35 \]

Modus = 30

Karena modus tidak lebih dari jangkauan, maka pernyataan (3) salah.

Pernyataan (4)

Jangkauan = 35

Median = 37.5

Karena jangkauan tidak lebih dari median, maka pernyataan (4) salah.

Jadi, dua pernyataan yang benar.

Jawaban: C

Soal Nomor 32

Fungsi \( f \) didefinisikan dengan \( f(x) = 1 - x^2 \). Grafik fungsi \( g \) diperoleh dari pencerminan grafik fungsi \( f \) terhadap garis \( x = 1 \).

Berdasarkan informasi di atas, pernyataan berikut yang bernilai BENAR adalah:

• \( g(3) = 0 \)
• Grafik fungsi \( f \) dapat diperoleh dari pergeseran grafik fungsi \( g \) dua satuan ke kanan
• Grafik fungsi \( g \) memotong sumbu y di \( (0, -3) \)

Pilihan Jawaban:

• A. 1 dan 2
• B. 1 dan 3
• C. 2 dan 3
• D. 1 Saja
• E. 2 Saja

Pembahasan

Pembahasan

Fungsi \( g(x) \) didapatkan dari pencerminan \( f(x) \) terhadap garis \( x = 1 \).

\( g(x) = f(2 - x) \)

\( g(x) = 1 - (2 - x)^2 \)

\( g(x) = 1 - (4 - 4x + x^2) \)

\( g(x) = 1 - 4 + 4x - x^2 \)

\( g(x) = -x^2 + 4x - 3 \)

Substitusi \( x = 3 \):

\( g(3) = -(3)^2 + 4(3) - 3 = 0 \)

Grafik fungsi \( f \) dapat diperoleh dari pergeseran grafik fungsi \( g \) dua satuan ke kanan:

\( x' = x + 2 \Rightarrow x = x' - 2 \)

\( f(x) = -(x' - 2)^2 + 4(x' - 2) - 3 \)

\( f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 4x - 8 - 3 \)

\( f(x) = -x^2 + 8x - 15 \)

Substitusi \( x = 0 \):

\( g(0) = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3 \)

Jadi, pernyataan yang benar adalah 1 dan 3.

Jawaban: (B)

Soal Nomor 33

Fungsi f dan g didefinisikan dengan \( f(x) = x(x-1)(x+1) \) dan \( g(x) = f(x-1) \).

Berdasarkan informasi di atas, pernyataan berikut yang bernilai SALAH adalah pernyataan...

• \( g(-1) = 0 \)
• Grafik fungsi g diperoleh dari pergeseran grafik fungsi f satu satuan ke kiri
• Grafik fungsi g memotong sumbu x di tiga titik berbeda
• A. 1 dan 2
• B. 1 dan 3
• C. 2 dan 3
• D. 1 saja
• E. 2 saja

Pembahasan

Pembahasan

Pernyataan 1

Fungsi f didefinisikan sebagai:

\( f(x) = x(x-1)(x+1) \)

Fungsi g didefinisikan sebagai:

\( g(x) = f(x-1) \)

Substitusi:

\( g(x) = (x-1)((x-1)-1)((x-1)+1) \)

\( g(x) = (x-1)(x-2)(x) \)

\( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)

Hitung \( g(-1) \):

\( g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 3 - 2 = -6 \)

Karena \( g(-1) eq 0 \), maka pernyataan (1) salah.

Pernyataan 2

Perubahan variabel: \( x' = x-1 \) maka \( x = x'+1 \).

\( g(x') = (x'+1)((x'+1)-1)((x'+1)+1) \)

\( g(x') = (x+1)(x)(x+2) \)

Hasil ekspansi:

\( g(x) = x^3 + 3x^2 + 2x \)

Grafik fungsi g diperoleh dari pergeseran satu satuan ke kanan, bukan ke kiri. Maka pernyataan (2) salah.

Pernyataan 3

Faktorisasi \( g(x) = (x-1)(x-2)(x) \) menunjukkan bahwa grafik memotong sumbu x di tiga titik: \( x = 1, x = 2 \), dan \( x = 0 \).

Pernyataan (3) benar.

Kesimpulan

Pernyataan yang salah adalah 1 dan 2.

Jawaban: A

Soal Nomor 34

Perhatikan gambar berikut:

Sebuah jajaran genjang mempunyai 4 titik, \( A(2,5) \), \( B(6,5) \), \( C(a,b) \), \( D(4,2) \). Tentukan \( 2a + b \).

• A. 17
• B. 18
• C. 19
• D. 21
• E. 22

Pembahasan

Pembahasan

Dengan memanfaatkan data yang ada, dapat ditentukan koordinat dari \( C \).

\( A \) dan \( B \) adalah titik segaris horizontal, koordinat \( A_x = 2 \) dan \( B_x = 6 \), memiliki selisih 4.

Sisi sejajar jajargenjang memiliki panjang yang sama, maka panjang \( CD \) sama dengan panjang \( AB \).

Maka, koordinat \( C_x = D_x + 4 \Rightarrow 4 + 4 = 8 \).

\( D \) dan \( C \) segaris secara horizontal, sehingga memiliki koordinat \( y \) yang sama, maka \( C_y = 2 \).

\( 2a + b = 2(8) + 2 = 18 \).

Jawaban: 18 (B)

Soal Nomor 35

Perhatikan gambar berikut:

Sebuah jajaran genjang mempunyai 4 titik, \( A(2,5) \), \( B(6,5) \), \( C(a,b) \), \( D(4,2) \). Luas jajargenjang tersebut adalah ... satuan luas.

• A. 10
• B. 21
• C. 22
• D. 23
• E. 12

Pembahasan

Pembahasan

Tinggi dihitung sebagai selisih koordinat \( y \) dari titik \( A \) dan \( D \):

\( \text{Tinggi} = A_y - D_y = 5 - 2 = 3 \).

Panjang alas dihitung sebagai selisih koordinat \( x \) dari titik \( B \) dan \( A \):

\( \text{Panjang alas} = B_x - A_x = 6 - 2 = 4 \).

Maka, luas jajargenjang:

\( \text{Luas} = \text{Panjang alas} \times \text{Tinggi} = 3 \times 4 = 12 \).

Jawaban: 12 (E)

Soal Nomor 36

Perhatikan gambar berikut:

Sebuah jajaran genjang mempunyai 4 titik, \( A(2,5) \), \( B(6,5) \), \( C(a,b) \), \( D(4,2) \). Gradien garis B ke C adalah?

• A.2
• B. 4
• C. -3,5
• D. -1,5
• E. 2,5

Pembahasan

Pembahasan

Dengan memanfaatkan data yang ada, dapat ditentukan koordinat dari \( C \).

\( A \) dan \( B \) adalah titik segaris horizontal, koordinat \( A_x = 2 \) dan \( B_x = 6 \), memiliki selisih 4.

Sisi sejajar jajargenjang memiliki panjang yang sama, maka panjang \( CD \) sama dengan panjang \( AB \).

Maka, koordinat \( C_x = D_x + 4 \Rightarrow 4 + 4 = 8 \).

\( D \) dan \( C \) segaris secara horizontal, sehingga memiliki koordinat \( y \) yang sama, maka \( C_y = 2 \).

Rumus gradien:

\( m = \frac{y_c - y_b}{x_c - x_b} = \frac{2 - 5}{8 - 6} = \frac{-3}{2} = -1.5 \).

Jawaban: -1.5 (D)

Soal Nomor 37

Tentukan nilai \( x \) dalam persamaan berikut:

\( 2 + \sqrt{16} + x = 11 \)

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4
• E. 5

Pembahasan

Pembahasan

Persamaan diberikan sebagai:

\( 2 + \sqrt{16} + x = 11 \)

Karena \( \sqrt{16} = 4 \), maka persamaan menjadi:

\( 2 + 4 + x = 11 \)

\( x = 11 - 6 = 5 \)

Jawaban: 5 (E)

Soal Nomor 38

Tentukan nilai \( x \) dalam persamaan berikut:

\( 4^{(2x+5)} = (64 \cdot 4)^{(3-x)} \)

• \( \frac{1}{2} \)
• \( \frac{1}{3} \)
• \( \frac{1}{4} \)
• \( \frac{1}{5} \)
• \( \frac{1}{6} \)

Pembahasan

Pembahasan

\( 4^{(2x+5)} = (64 \cdot 4)^{(3-x)} \)

\( 4^{(2x+5)} = (4^3 \cdot 4)^{(3-x)} \)

\( 4^{(2x+5)} = 4^{(3-x+3)} \)

\( 2x + 5 = 6 - x \)

\( 3x = 1 \)

\( x = \frac{1}{3} \)

Jawaban: \( \frac{1}{3} \) (B)

Soal Nomor 39

Sebuah tabung memiliki jari-jari 7 cm dan tinggi \( t \) cm. Tentukan pernyataan di bawah ini (B/S)!

• Bila \( t = 3 \) cm maka volume tabung adalah 460 cm³ (B/S)
• Bila \( t = 5 \) cm maka volume tabung adalah 770 cm³ (B/S)
• Jika volume tabung tersebut adalah 1.540 cm³, \( t \) nya adalah 10 cm (B/S)

Pembahasan

Pembahasan

Gunakan pendekatan \( \pi = \frac{22}{7} \).

Bila \( t = 3 \):

\[ V = \pi r^2 t \]

\[ V = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 3 \]

\[ V = 462 \text{ cm}^3 \]

Jawaban: Salah

Bila \( t = 5 \):

\[ V = \pi r^2 t \]

\[ V = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 5 \]

\[ V = 770 \text{ cm}^3 \]

Jawaban: Benar

Bila \( t = 10 \):

\[ V = \pi r^2 t \]

\[ V = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10 \]

\[ V = 1.540 \text{ cm}^3 \]

Jawaban: Benar

Soal Nomor 40

Fungsi \( f \) dan \( g \) didefinisikan dengan \( f(x) = (x-3)^2 + 5 \) dan \( g(x) = f(x+2) \).

Berdasarkan informasi di atas, tentukan benar atau salah pernyataan berikut:

• \( g(2) = f(2) \) (Benar/Salah)
• Grafik fungsi \( f \) dapat diperoleh dari pergeseran fungsi \( g \) dua satuan ke kanan (Benar/Salah)
• Grafik fungsi \( f \) memotong garis \( x = 0 \) di titik \( (0,14) \) (Benar/Salah)

Pembahasan

Pembahasan

Pernyataan 1:

\( f(x) = (x-3)^2 + 5 \)

\( g(x) = f(x+2) \)

\( g(x) = (x+2-3)^2 + 5 \)

\( g(x) = (x-1)^2 + 5 \)

\( g(x) = x^2 - 2x + 1 + 5 \)

\( g(x) = x^2 - 2x + 6 \)

\( f(2) = (2-3)^2 + 5 = 5 \)

\( g(2) = (2)^2 - 2(2) + 6 = 6 \)

Jawaban: Salah

Pernyataan 2:

\( x' = x+2 \Rightarrow x = x'-2 \)

\( g(x) = (x'-2)^2 - 2(x'-2) + 6 \)

\( f(x) = x^2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 6 \)

\( f(x) = x^2 - 6x + 14 \) atau \( f(x) = (x-3)^2 + 5 \)

Jawaban: Benar

Pernyataan 3:

\( f(x) = (x-3)^2 + 5 \)

Masukkan nilai \( x = 0 \):

\( f(0) = (0-3)^2 + 5 = 14 \)

Jawaban: Benar

Soal Nomor 41

Diketahui fungsi \( g(x) = x^2 - 5x + 8 \) dan \( h(b) = \sqrt{b} - 1 \).

P	Q
\( g(h(b)) \) untuk \( b = 1 \) dan \( b = 4 \)	6

• A. P > Q
• B. P < Q
• C. P = Q
• D. Tidak dapat ditentukan

Pembahasan

Pembahasan

\( g(h(b)) = (\sqrt{b} - 1)^2 - 5(\sqrt{b} - 1) + 8 \)

\( g(h(b)) = b - 2\sqrt{b} + 1 - 5\sqrt{b} + 5 + 8 \)

\( g(h(b)) = b - 7\sqrt{b} + 14 \)

Untuk \( b = 1 \):

\( g(h(1)) = 1 - 7\sqrt{1} + 14 = 8 \)

Untuk \( b = 4 \):

\( g(h(4)) = 4 - 7\sqrt{4} + 14 = 4 \)

Jawaban: D

Soal Nomor 42

Perhatikan gambar berikut:

Sebuah segitiga sama kaki ABC, dengan \( BA = BC \), memiliki luas 12. Diketahui titik \( A(0,1) \), \( B(p,q) \), dan \( C(0,7) \). Titik \( B \) berada di sumbu x negatif, tentukanlah \( q - 2p \).

• 10
• 11
• 12
• 13
• 14

Pembahasan

Pembahasan

Segitiga \( ABC \) memiliki alas \( AB \). Misal, titik tengah \( AB \) adalah \( D \). Panjang alas dihitung sebagai:

\[ \text{Alas} = \sqrt{(A_x - C_x)^2 + (A_y - C_y)^2} \]

\[ \text{Panjang alas} = \sqrt{(0-0)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{6^2} = 6 \]

Atau bisa langsung dihitung dengan selisih koordinat y: \( 7 - 1 = 6 \).

\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \times \text{Alas} \times \text{Tinggi} \]

\[ 12 = \frac{1}{2} \times 6 \times \text{Tinggi} \]

\[ \text{Tinggi} = 4 \]

Karena titik B berada di sumbu x negatif, maka koordinat \( x \) dari B adalah:

\[ p = 0 - 4 = -4 \]

Koordinat \( y \) dari titik \( B \) adalah dengan menambahkan 3 pada koordinat \( y \) dari \( A \), sehingga:

\[ q = 4 \]

\[ q - 2p = 4 - 2(-4) = 4 + 8 = 12 \]

Jawaban: 12 (C)

Soal Nomor 43

Sebuah segitiga sama kaki ABC, dengan \( BA = BC \), memiliki luas 12. Titik-titiknya adalah \( A(0,1) \), \( B(p,q) \), dan \( C(0,7) \). Jika titik \( B \) berada di sumbu \( x \) negatif, tentukan panjang \( BC \).

• A. 5
• B. 6
• C. 7
• D. 8
• E. 9

Pembahasan

Pembahasan

Segitiga ABC memiliki alas \( AB \). Titik tengah alas adalah \( D \).

Panjang alas dihitung sebagai:

\( \text{alas} = \sqrt{(A_x - C_x)^2 + (A_y - C_y)^2} \)

\( \text{alas} = \sqrt{(0-0)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{6^2} = 6 \)

(Bisa langsung diperoleh dari selisih koordinat \( y \): \( 7-1 = 6 \))

Menggunakan rumus luas segitiga:

\( 12 = \frac{1}{2} \times 6 \times \text{tinggi} \)

\( \text{tinggi} = 4 \)

Maka koordinat \( B_x \) diperoleh dengan mengurangi 0 dengan tinggi:

\( B_x = 0 - 4 = -4 \)

Koordinat \( B_y \) diperoleh dengan menambah 3 ke \( A_y \), sehingga:

\( B_y = 1 + 3 = 4 \)

Panjang \( BC \) dihitung sebagai:

\( BC = \sqrt{(B_x - C_x)^2 + (B_y - C_y)^2} \)

\( BC = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

Jawaban: 5 (A)

Soal Nomor 44

Perhatikan gambar berikut:

Garis \( k \) melalui titik \( C \) di trapesium sama kaki \( ABCD \) dan sejajar ruas garis \( AD \). Jika \( C(m, n) \), maka \( 2m + 3n \) = ...

• 24
• 25
• 26
• 27
• 28

Pembahasan

Pembahasan

Pada sumbu \( x \) titik \( A \) dan \( D \), selisihnya adalah 1 (\( 1 - 0 = 1 \)).

Maka selisih ini juga sama pada titik \( B \) dan \( C \), yakni 1. Sehingga koordinat sumbu \( x \) pada titik \( C \) adalah:

\( C_x = 5 + 1 = 6 \)

Koordinat sumbu \( y \) dari \( C \) sama dengan koordinat sumbu \( y \) dari \( D \), yakni 5.

Maka:

\( 2m + 3n = 2(6) + 3(5) = 12 + 15 = 27 \).

Jawaban: 27 (D)

Soal Nomor 45

Perhatikan gambar berikut:

Garis \( k \) melalui titik \( C \) di trapesium sama kaki \( ABCD \) dan garis sejajar ruas garis \( AD \). Jika \( C(m, n) \), luas \( ABCD \) adalah:

• A. 8
• B. 16
• C. 18
• D. 20
• E. 24

Pembahasan

Pembahasan

Tinggi trapesium adalah selisih dari koordinat sumbu \( y \) dari \( A \) dan \( D \), yakni 4.

\( L = \frac{1}{2} (AB + CD) \times \text{tinggi} \)

\( L = \frac{1}{2} (4+6) \times 4 \)

\( L = 20 \)

Jawaban: 20 (D)

Soal Nomor 46

Diketahui fungsi

\( f(x) = a^2 + x \)

\( f(2) = a + 14 \)

Jika \( a_1 \) dan \( a_2 \) adalah solusi \( a \) yang mungkin, serta \( a_1 < a_2 \), maka \( 2a_2 - a_1 = \) ?

• A. 10
• B. 11
• C. 12
• D. 13
• E. 14

Pembahasan

Pembahasan

Substitusi \( x = 2 \) ke dalam persamaan pertama:

\( f(2) = a^2 + 2 \)

\( a^2 + 2 = a + 14 \)

\( a^2 - a - 12 = 0 \)

Faktorkan:

\( (a - 4)(a + 3) = 0 \)

Sehingga \( a = 4 \) atau \( a = -3 \)

Karena \( a_1 < a_2 \), maka \( a_1 = -3 \) dan \( a_2 = 4 \).

Hitung \( 2a_2 - a_1 \):

\( 2(4) - (-3) = 11 \)

Jawaban: B. 11

Soal Nomor 47

Diketahui suatu barisan bilangan memenuhi persamaan \( a_{n+1} = 8 - 2a_n \). Diketahui \( a_1 = -2 \), maka nilai dari \( a_4 \) adalah:

• A. 40
• B. 38
• C. 36
• D. 34
• E. 32

Pembahasan

Pembahasan

Gunakan rumus rekursif \( a_{n+1} = 8 - 2a_n \):

Untuk \( n = 1 \):

\( a_2 = 8 - 2a_1 \)

\( a_2 = 8 - 2(-2) = 12 \)

Untuk \( n = 2 \):

\( a_3 = 8 - 2a_2 \)

\( a_3 = 8 - 2(12) = -16 \)

Untuk \( n = 3 \):

\( a_4 = 8 - 2a_3 \)

\( a_4 = 8 - 2(-16) = 40 \)

Jawaban: A

Soal Nomor 48

Perhatikan gambar berikut:

Keterangan:

• KPK merupakan kelipatan persekutuan bilangan \( m \) dan \( n \) dengan \( 10 < n < 20 \).
• Input \( E = 8 \) menghasilkan \( H = 8 \).
• Input \( E = 6 \) menghasilkan \( H = 42 \).

Nilai \( n \) adalah:

• A. 7
• B. 12
• C. 15
• D. 17
• E. 19

Pembahasan

Pembahasan

Input \( E = 6 \)

\( F = 3E + 1 \)

\( F = 3(6) + 1 = 19 \)

\( \sqrt{F} = \sqrt{19} \) (tidak bulat)

\( G = F - n \)

Nilai \( G \) belum diketahui, maka cari terlebih dahulu:

\( H = \text{KPK} (E, G) \)

\( 42 = \text{KPK} (6, G) \)

Maka, nilai \( G \) yang memenuhi adalah 7.

\( G = F - n \)

\( 7 = 19 - n \)

\( n = 19 - 7 = 12 \)

Jawaban: B

Soal Nomor 49

Perhatikan gambar berikut:

Keterangan:

• KPK merupakan kelipatan persekutuan bilangan m dan n dengan \(10 < n < 20\)
• Input \(E = 8\) menghasilkan \(H = 8\)
• Input \(E = 6\) menghasilkan \(H = 42\)

Jika diberikan input \(E = 7\), dihasilkan \(H =\) ...

• A. 35
• B. 42
• C. 56
• D. 70
• E. 144

Pembahasan

Pembahasan

Input \( E = 7 \)

\( F = 3 \times E + 1 = 3 \times 7 + 1 = 22 \)

\( \sqrt{F} = \sqrt{22} \) (tidak bulat)

\( G = F - n \)

\( G = 22 - 12 = 10 \)

\( H = \text{KPK} (E, G) \)

\( H = \text{KPK} (7,10) = 70 \)

Jawaban: 70 (D)

Soal Nomor 50

Perhatikan gambar berikut!

Keterangan:

• KPK merupakan kelipatan persekutuan bilangan \( m \) dan \( n \) dengan \( 10 < n < 20 \).
• Input \( E = 8 \) menghasilkan \( H = 8 \).
• Input \( E = 6 \) menghasilkan \( H = 42 \).

Nilai \( m \) adalah

• A. 3
• B. 4
• C. 5
• D. 7
• E. 8

Pembahasan

Pembahasan

Input \( E = 8 \)

\( F = 3 \times 8 + 1 = 3 \times 8 + 1 = 25 \)

\( \sqrt{F} = \sqrt{25} \) (Bulat)

\( H = \frac{(E \times \sqrt{F})}{m} \)

\( 8 = \frac{(8 \times 5)}{m} \)

\( m = 5 \)

Jawaban: C

Soal Nomor 51

Perhatikan gambar berikut:

Jika \( (k, m) \) adalah koordinat titik \( D \), nilai \( m - k \) adalah ...

• A. -2
• B. -1
• C. 1
• D. 2
• E. 3

Pembahasan

Pembahasan

Titik \( D \) memiliki koordinat sumbu \( y \) yang sama dengan \( A \) dan \( B \), yakni \( 3 \).

Kemudian, untuk menentukan koordinat sumbu \( x \), bisa digunakan prinsip kesebangunan antara segitiga \( BED \) dan \( BAC \).

\( \frac{AB}{BE} = \frac{BC}{BD} \)

\( \frac{3}{6} = \frac{2}{BD} \)

\( BD = \frac{12}{3} = 4 \)

Jarak \( BD \) adalah 4 satuan, maka koordinat sumbu \( x \) dari \( D \) adalah \( 6 - 4 = 2 \).

Sehingga, \( D(2,3) \).

\( m - k = 3 - 2 = 1 \).

Jawaban: 1 (C)

Soal Nomor 52

Perhatikan gambar berikut:

Luas segitiga EBD adalah ...

• A. 3
• B. 4
• C. 6
• D. 12
• E. 24

Pembahasan

Pembahasan

Titik D memiliki koordinat sumbu y yang sama dengan A dan B, yakni 3.

Kemudian, untuk menentukan koordinat sumbu x, bisa digunakan prinsip kesebangunan antara segitiga BED dan BAC.

\( \frac{AB}{BE} = \frac{BC}{BD} \)

\( \frac{3}{6} = \frac{2}{BD} \)

\( BD = \frac{6 \times 2}{3} = 4 \)

Jarak BD adalah 4 satuan, maka koordinat sumbu x dari D adalah \( 6 - 4 = 2 \).

Sehingga, titik D (2,3).

Luas segitiga dihitung sebagai berikut:

\( L = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \)

\( L = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \)

\( L = 12 \)

Jawaban: 12 (D)

Soal Nomor 53

Perhatikan gambar berikut:

Jika \((x, y)\) adalah koordinat titik \(D\), nilai \(x + y\) adalah ...

• A. 5
• B. 6
• C. 7
• D. 8
• E. 9

Pembahasan

Pembahasan

Menentukan jarak AD:

\( \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{BC} \)

\( \frac{AD}{2} = \frac{2}{1} \)

\( AD = 4 \)

Maka koordinat dari D adalah \( D(2, 4) \).

Untuk 2 didapatkan dari kesamaan titik sumbu \(x\) dengan titik A.

\( x + y = 2 + 4 = 6 \).

Jawaban: 6 (B)

Soal Nomor 54

Perhatikan gambar berikut:

Jika \((x, y)\) adalah koordinat titik \(D\), luas segitiga \(DCA\) adalah ...

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4
• E. 5

Pembahasan

Pembahasan

Menentukan jarak AD:

\( \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{BC} \)

\( \frac{AD}{2} = \frac{2}{1} \)

\( AD = 4 \)

Maka koordinat dari D adalah \( D(2, 4) \).

Untuk 2 didapatkan dari kesamaan titik sumbu \(x\) dengan titik A.

\( L = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \).

Jawaban: 4 (D)

Soal Nomor 55

Segitiga PQR dan STU sebangun.

Jika \((a, b)\) adalah koordinat titik \( U \), nilai \( a + b \) adalah:

• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

Pembahasan

Untuk sumbu \( x \) dari titik \( U \) memiliki koordinat \( x \) yang sama dengan titik \( Q, T, \) dan \( P \), yakni 0.

Kemudian, menentukan jarak \( TU \).

\[ \frac{TU}{QR} = \frac{ST}{PQ} \] \[ \frac{TU}{4} = \frac{3}{3} \] \[ TU = 4 \]

Maka, tambahkan 4 untuk koordinat sumbu \( y \) dari \( T \):

\[ -1 + 4 = 3 \]

Maka koordinat dari \( U(0, 3) \).

Jadi, \( a + b = 0 + 3 = 3 \).

Jawaban: B

Soal Nomor 56

Segitiga PQR dan STU sebangun.

Luas segitiga STU adalah:

• 12
• 8
• 6
• 2
• 3

Pembahasan

Menentukan jarak \( TU \).

\[ \frac{TU}{QR} = \frac{ST}{PQ} \] \[ \frac{TU}{4} = \frac{3}{3} \] \[ TU = 4 \]

Menghitung luas segitiga:

\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \] \[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \] \[ \text{Luas} = 6 \]

Jawaban: C

Soal Nomor 57

AB sejajar dengan ED dan AC sejajar garis l. Diketahui bahwa \( ED = 3 \).

Jika \((m, n)\) adalah koordinat titik \( D \), maka \( 2n - m = \) ?

• 1
• 2
• 0
• -1
• -2

Pembahasan

Untuk koordinat sumbu \( x \) dari \( D \), sama dengan koordinat sumbu \( x \) dari \( C \) dan \( B \), yakni 9.

Kemudian menentukan jarak \( CD \):

\[ \frac{CD}{BC} = \frac{ED}{AB} \] \[ \frac{CD}{8} = \frac{3}{6} \] \[ CD = 4 \]

Karena jarak \( CD \) adalah 4 satuan, maka kurangi 4 untuk koordinat dari \( C \):

\[ 9 - 4 = 5 \]

Maka koordinat dari \( D(9,5) \).

\[ 2n - m = 2(5) - 9 = 1 \]

Jawaban: A

Soal Nomor 58

AB sejajar dengan ED dan AC sejajar garis l. Diketahui bahwa ED = 3.

Luas \( ABED \) adalah...

• 12
• 8
• 6
• 2
• 3

Pembahasan

Menentukan jarak \( CD \).

\[ \frac{CD}{BC} = \frac{ED}{AB} \] \[ \frac{CD}{8} = \frac{3}{6} \] \[ CD = 4 \]

Jika jarak \( BC \) adalah 8 satuan, sementara \( CD \) berjarak 4 satuan, maka jarak \( BD \) adalah:

\[ BD = 8 - 4 = 4 \]

Karena \( ABED \) adalah bangun datar trapesium, maka luasnya:

\[ L = \frac{1}{2} (AB + ED) \times BD \] \[ L = \frac{1}{2} (6 + 3) \times 4 \] \[ L = 18 \]

Jawaban: 18

Soal Nomor 59

AB sejajar dengan ED dan AC sejajar garis \( l \). Diketahui bahwa \( ED = 3 \).

Persamaan garis \( l \) adalah:

• \( 4y - 3x - 24 = 0 \)
• \( 4y - 3x + 24 = 0 \)
• \( 3y - 4x - 33 = 0 \)
• \( 3y - 4x + 33 = 0 \)
• \( 3y + 4x + 33 = 0 \)

Pembahasan

Karena \( AC \) sejajar dengan garis \( l \), maka keduanya memiliki gradien yang sama.

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ m = \frac{9 - 1}{9 - 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Maka, persamaan garis \( l \) dapat dicari menggunakan rumus:

\[ y - y_1 = m (x - x_1) \]

Substitusi titik \( (9,1) \):

\[ y - 1 = \frac{4}{3} (x - 9) \]

Kemudian, kalikan kedua ruas dengan 3 untuk menghilangkan pecahan:

\[ 3y - 3 = 4x - 36 \]

Susun ulang menjadi:

\[ 3y - 4x + 33 = 0 \]

Jawaban: D